Question

4．如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，過點P的割線交圓于B，C兩點，弦CD∥AP，AD，BC相交于點E，F(xiàn)為CE上一點，且DE²=EF•EC．
（Ⅰ）求證：∠EDF=∠P；
（Ⅱ）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用相似三角形的判定，證得△DEF∽△CED，再由兩直線平行的性質(zhì)定理，即可得證；
（Ⅱ）由對應(yīng)角相等，證得△EDF∽△EPA，再由相交弦定理和相似三角形的性質(zhì)，可得CE，BE，EP，再由圓的切割線定理，計算即可得到所求PA的值．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵DE²=EF•EC，∠DEF=∠DEF，
∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C，
又∵CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠EDF=∠P，又∠DEF=∠PEA，
∴△EDF∽△EPA，
∴$\frac{ED}{EP}$=$\frac{EF}{EA}$，∴EF•EP=EA•ED，
又EA•ED=EC•EB，
∴CE•EB=EF•EP．
∵DE²=EF•EC，DE=3，EF=2，∴$EC=\frac{9}{2}$，
∵CE：BE=3：2，
∴BE=$\frac{2CE}{3}$=3，解得EP=$\frac{CE•EB}{EF}$=$\frac{\frac{9}{2}×3}{2}$=$\frac{27}{4}$．
∴$BP=EP-EB=\frac{15}{4}$．
∵PA是⊙O的切線，∴PA²=PB•PC，
∴$P{A^2}=\frac{15}{4}×（\frac{27}{4}+\frac{9}{2}）$，
解得$PA=\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題考查圓的相交弦定理、切割線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．