Question

（2010•撫州模擬）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又頂點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影落在AC上，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°角，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥AA₁；
（2）如果二面角A₁-BD-C₁為直二面角，試求側(cè)棱CC₁與側(cè)面A₁ABB₁的距離．

Answer 1

分析：（1）要證線線垂直，關(guān)鍵是證明線面垂直，利用面面垂直可得線面垂直，故可證；
（2）∠A₁DC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角，故∠A₁DC₁=90°，又∠A₁AD為AA₁與底面ABC所成的角，從而∠A₁AD=60°．由于CC₁∥側(cè)面A₁ABB₁，故CC₁與側(cè)面A₁ABB₁的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面A₁ABB₁的法向量，利用d=

| CB • n |

| n |

即可求得．

解答：證明：（1）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因?yàn)锳₁在底面ABC上射影落在AC上，則平面A₁ACC₁經(jīng)過底面ABC的垂線 
故側(cè)面A₁C⊥面ABC．
又 BD為等腰△ABC底邊AC上中線，則BD⊥AC，從而BD⊥面AC．
∴BD⊥面A₁C，又AA₁?面A₁C，
∴AA₁⊥BD（4分）
（2）∠A₁DC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角，故∠A₁DC₁=90°，
又∠A₁AD為AA₁與底面ABC所成的角，從而∠A₁AD=60°，
設(shè)側(cè)棱長為a，
由于AC=

AB2+BC2-2AB•BCcos1200

=2

3

，
則A1D2=a2+AD2-2a•ADcos600=a2+3-2

3

a•

1

2

=a2-

3

a+3，類似地DC12=a2+

3

a+3．
在Rt△A₁DC₁中，A₁D²+DC₁²=A₁C₁²，即2a2+6=(2

3

)2⇒a=

3

．（8分）
這樣△A₁AD為等邊三角形，取AD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．易知A1(0，0，

3

2

)，A(0，-

3

2

，0)，B(1，

3

2

，0)，
故

A1A

=(0，-

3

2

，-

3

2

)，

A1B

=(1，

3

2

，-

3

2

)，
設(shè)面A₁ABB₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

- 3 2 y- 3 2 z=0 x+ 3 y 2 - 3 2 z=0

，可取

n

=(3，-

3

，1)，
又C(0，

3 3

2

，0)，

CB

=(1，-

3

，0)，
故點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離為d=

| CB • n |

| n |

=

|3+3|

13

=

6 13

13

，
而CC₁∥側(cè)面A₁ABB₁，故CC₁與側(cè)面A₁ABB₁的距離為

6 13

13

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面距離，考查利用空間向量求解空間距離，綜合性強(qiáng)