Question

已知函數(shù)f（x）=，x∈[1，+∞）
（I）當(dāng)m=時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．
設(shè)1≤x₁＜x₂，有．
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
所以，f（x）在[1，+∞）上的最小值為．
（Ⅱ）在區(qū)間[1，+∞）上，恒成立，等價(jià)于x²+4x+m＞0恒成立．
設(shè)y=x²+4x+m，x∈[1，+∞），
由y=x²+4x+m=（x+2）²+a-4在[1，+∞）上遞增，則當(dāng)x=1時(shí)，y_min=5+m．
于是，當(dāng)且僅當(dāng)y_min=5+m＞0時(shí)，f（x）＞0恒成立．
此時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-5，+∞）．
分析：（I）當(dāng)m=時(shí)，f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，將1代入可得函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）在區(qū)間[1，+∞）上，恒成立，等價(jià)于x²+4x+m＞0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為最值問題后，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，其中將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解答此類問題的關(guān)鍵．