Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△ABE為等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，點(diǎn)F在CE上，且BF⊥平面ACE．

(Ⅰ)判斷平面ADE與平面BCE是否垂直，并說(shuō)明理由；

(Ⅱ)求點(diǎn)D到平面ACE的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因?yàn)锽F⊥平面ACE，所以BF⊥AE．(2分) 　　因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，BC⊥AB， 　　平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE， 　　從而BC⊥AE．(5分) 　　于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE．(6分) 　　(Ⅱ)方法一：連結(jié)BD交AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)， 　　所以點(diǎn)D與點(diǎn)B到平面ACE的距離相等． 　　因?yàn)锽F⊥平面ACE，所以BF為點(diǎn)B到平面ACE的距離．(8分) 　　因?yàn)锳E⊥平面BCE，所以AE⊥BE． 　　又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形． 　　因?yàn)锳B＝2，所以BE＝．(9分) 　　在Rt△CBE中，．(10分) 　　所以． 　　故點(diǎn)D到平面ACE的距離是．(12分) 　　方法二：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD． 　　因?yàn)锳E⊥平面BCE，所以AE⊥BE．又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，從而G為AB的中點(diǎn)．又AB＝2，所以EG＝1．(8分) 　　因?yàn)锳E⊥平面BCE，所以AE⊥EC． 　　又AE＝BE＝，．(10分) 　　設(shè)點(diǎn)D到平面ACE的距離為h，因?yàn)閂D－ACE＝VE－ACD，則． 　　所以，故點(diǎn)D到平面ACE的距離是．(12分)