如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)為2,高為
2
,D是BC的中點(diǎn),D1是B1C1的中點(diǎn),求證:
(1)平面A1BD1∥平面ADC1
(2)CB1⊥平面ADC1
分析:(1)連結(jié)D1D,正三棱柱ABC-A1B1C中運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)證出四邊形AA1D1D是平行四邊形,得A1D1∥AD,結(jié)合線面平行判定定理得AD∥平面A1BD1,同理C1D∥平面A1BD1,結(jié)合面面平行判定定理得平面A1BD1∥平面ADC1;
(2)連結(jié)B1C,矩形BB1C1C中利用三角函數(shù)證出CB1⊥C1D.由線面垂直的性質(zhì)與判定,結(jié)合正三棱柱性質(zhì)證出
AD⊥CB1,結(jié)合AD、C1D是平面ADC1內(nèi)的相交直線,可得CB1⊥平面ADC1
解答:解:(1)連結(jié)D1D,
∵矩形BB1C1C中,D是BC的中點(diǎn),D1是B1C1的中點(diǎn),
∴D1D∥B1B,且D1D=B1B
又∵A1A∥B1B,且A1A=B1B,
∴A1A∥D1D且A1A=D1D,可得四邊形AA1D1D是平行四邊形,得A1D1∥AD
∵A1D1?平面A1BD1且AD?平面A1BD1,∴AD∥平面A1BD1
同理可得C1D∥平面A1BD1,
∵C1D、AD是平面ADC1內(nèi)的相交直線,∴平面A1BD1∥平面ADC1;
(2)連結(jié)B1C,則
∵Rt△BB1C中,tan∠BCB1=
BB1
BC
=
2
2
,Rt△CDC1中,tan∠DC1C=
DC
CC1
=
2
2

∴矩形BB1C1C中,∠BCB1=∠DC1C=90°-∠C1CB1
可得∠C1CB1+∠DC1C=90°,得CB1⊥C1D
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,AD⊥BC,AD⊥BB1,BC∩BB1=B
∴AD⊥平面BB1C1C,結(jié)合CB1?平面BB1C1C,得AD⊥CB1,
∵AD、C1D是平面ADC1內(nèi)的相交直線
∴CB1⊥平面ADC1
點(diǎn)評(píng):本題在正三棱柱中證明面面平行,并且證明了線面垂直.著重考查了線面平行、面面平行的判定定理,線面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
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精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為( 。
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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(Ⅰ)在棱B1C1上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
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(Ⅲ)求B1到截面DEG的距離.

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(Ⅰ)求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大;
(Ⅱ)求二面角C1-BM-C的正切值;
(Ⅲ)證明MN⊥BC1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)如圖,在正三棱柱ABC一DEF中,AB=2,AD=1,P是CF的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M,交EF于N.
(I)求證:MN∥平面CDE:
(II)當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí),求三梭臺(tái)MNF-ABC的體積.

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