Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，S_n=2a_n-2．
（I）求{a_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正，其前3項(xiàng)和為6，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₄成等比數(shù)列，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記，數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)和記為T(mén)_n，問(wèn)是否存在常數(shù)k，使對(duì)任意的n≥k，n∈N，都有成立，若存在，求常數(shù)k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n=2a_n-2，知S_n-1=2a_n-1-2，故a_n=2a_n-1，，由此能求出{a_n}通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由題設(shè)知，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由題設(shè)知，利用錯(cuò)位相減法能得到=2-．由＜，知＜1，設(shè)，能夠推導(dǎo)出當(dāng)k=6時(shí)，使對(duì)任意的n≥k，n∈N，都成立．
解答：解：（I）∵S_n=2a_n-2，則S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減，得a_n=2a_n-1，
，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，∴．
（Ⅱ）∵等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正，其前3項(xiàng)和為6，
又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₄成等比數(shù)列，
∴，
解得，或（舍）
∴b_n=n．
（Ⅲ）∵，數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)和記為T(mén)_n，
∴，
2T_n=，
∴
=2--
=2-．
∴＜，即＜1，
設(shè)，
，
．
當(dāng)n≥2時(shí)，d_n+1＜d_n，
，，，，
∴當(dāng)k≥6時(shí)，使對(duì)任意的n≥k，n∈N，都成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和判斷是否存在常數(shù)k，使對(duì)任意的n≥k，n∈N，都有成立．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意迭代法和錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用．