Question

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，二面角P-AB-C為45°，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AP⊥平面BDE，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AP與平面BDE內(nèi)兩相交直線垂直，而BD⊥AP，AP⊥DE，BD∩DE=D，滿足定理的條件；
（Ⅱ）根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PBC為二面角P-AB-C的平面角，作EH⊥AC于H，以D為原點DB，DC所在直線分別為X軸Y軸，平面ABC的垂線為Z軸建立空間直角坐標系D-xyz，求出平面BEF的法向量為

m

和平面ABC的法向量

n

，然后求出兩法向量之間的夾角的余弦值即可求得平面BEF與平面BAC所成的銳二面角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明∵PC⊥底面ABC
∴PC⊥BD，又AB=BC，D為AC中點
∴BD⊥A
∴BD⊥平面ACP
∵AP?平面ACP
∴BD⊥AP，又AP⊥DE，BD∩DE=D∴AP⊥平面BDE．

（Ⅱ）∵AB⊥BC，BC為PB在平面ABC上的射影
∴PB⊥AB，∴∠PBC為二面角P-AB-C的平面角∴∠PBC=45°
∵AB=BC=2∴PC=2，AC=2

2

∵DE⊥AP∴DE=

6

3

作EH⊥AC于H，則EH=DEsin∠EDH=DEsin∠APC=

2

3

∴DH=

2

3

（6分）
以D為原點DB，DC所在直線分別為X軸Y軸，平面ABC的垂線為Z軸建立空間直角坐標系D-xyz可得
B（

2

，0，0），E（0，-

2

3

，

2

3

），F(xiàn)（0，

2

，1）．

BE

=（-

2

，-

2

3

，

2

3

），

BF

=（-

2

，

2

，1）
設(shè)平面BEF的法向量為

m

=（x，y，z）則-

2

x-

2

3

y+

2

3

z=0且-

2

x+ 

2

y+z=0
可取

m

=（-3，1，-4

2

）
取平面ABC的法向量

n

=（0，0，1）則cos＜

m

，

n

＞=-

4 21

21

∴平面BEF與平面BAC所成的銳二面角的余弦值為

4 21

21

（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及利用空間向量求二面角的平面角，屬于基礎(chǔ)題．