Question

已知：0＜θ＜π，等比數(shù)列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ，．
（1）問是否為數(shù)列{a_n}中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由．
（2）若等比數(shù)列{a_n}的公比q滿足|q|＜1，求θ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，
a₃=1+sin2θ（sinθ+cosθ）²，
所以q=sinθ+cosθ，
所以a_n=（sinθ+cosθ）^n-1．
∵．
∴=2+2sin2θ-cos²2θ
=1+2sin2θ+sin²2θ
=（sinθ+cosθ）⁴，
所以是數(shù)列{a_n}中的第5項．
（2）∵|q|=|sinθ+cosθ|
=＜1，
∴|sin（）|＜，
∴．
分析：（1）由等比數(shù)列{a_n}中，a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ（sinθ+cosθ）²，知q=sinθ+cosθ，所以以a_n=（sinθ+cosθ）^n-1．由=2+2sin2θ-cos²2θ=1+2sin2θ+sin²2θ=（sinθ+cosθ）⁴，知是數(shù)列{a_n}中的第5項．
（2）由|q|=|sinθ+cosθ|=＜1，知|sin（）|＜，由此能求出θ的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量的數(shù)列積和三角函數(shù)的靈活運(yùn)用．