Question

已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函數(shù)是否屬于集合M？說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=2^x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn)，證明：函數(shù)f（x）=2^x+x²∈M．

Answer 1

【答案】分析：（1）集合M中元素的性質(zhì)，即有f（x+1）=f（x）+f（1）成立，代入函數(shù)解析式列出方程，進(jìn)行求解，若無(wú)解則此函數(shù)不是M的元素，若有解則此函數(shù)是M的元素；
（2）根據(jù)f（x+1）=f（x）+f（1）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求出關(guān)于a的方程，再根據(jù)方程有解的條件求出a的取值范圍，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，考慮是否為零的情況；
（3）利用f（x+1）=f（x）+f（1）和f（x）=2^x+x²∈M，整理出關(guān)于x的式子，利用y=2^x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)方程有根，與求出的式子進(jìn)行比較和證明．
解答：解：（1）若f（x）=∈M，在定義域內(nèi)存在x，則+1=0，
∵方程x²+x+1=0無(wú)解，∴f（x）=∉M；（5分）
（2）由題意得，f（x）=lg∈M，
∴l(xiāng)g+2ax+2（a-1）=0，
當(dāng)a=2時(shí)，x=-；
當(dāng)a≠2時(shí)，由△≥0，得a²-6a+4≤0，a∈．
綜上，所求的；（10分）
（3）∵函數(shù)f（x）=2^x+x²∈M，
∴-3
=，
又∵函數(shù)y=2^x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，
則，其中x=a+1
∴f（x+1）=f（x）+f（1），即f（x）=2^x+x²∈M．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是元素與集合的關(guān)系，此題的集合中的元素是集合，主要利用了元素滿(mǎn)足的恒等式進(jìn)行求解，根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的元素性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，考查了邏輯思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力．