Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

n(a1+an)

2

．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）若a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由數(shù)列遞推式得到a_n，進(jìn)一步得到a_n+1，作差后得答案；
（2）利用累加法求得b_n，取倒數(shù)后由裂項相消法求得數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n．

解答： （1）證明：由S_n=

n(a1+an)

2

，
當(dāng)n≥2時，Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，
∴a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

．
同理有a_n+1=

(n+1)(a1+an+1)

2

-

n(a1+an)

2

，
從而a_n+1-a_n=

(n+1)(a1+an+1)

2

-n（a₁+a_n）+

(n-1)(a1+an-1)

2

，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=a₂-a₁．
從而{a_n}是等差數(shù)列；
（2）∵a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），
∴b_n-b_n-1=2n+1，
則b₂-b₁=2•2+1．
b₃-b₂=2•3+1．
b₄-b₃=2•4+1．
…
b_n-b_n-1=2n+1（n≥2）．
∴b_n-b₁=2（2+3+4+…+n）+n-1．
∴bn=3+2•

(n+2)(n-1)

2

+n-1=n（n+2）．

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評：本題考查等差關(guān)系的確定，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．