Question

17．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為120°求：
（1）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
（2）$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影；
（3）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可，
（2）根據(jù)投影的定義即可求出，
（3）根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為120°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos120°=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow$|²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=16-8+4=12，
（2）$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow$上的投影為|$\overrightarrow{a}$|cos120°=-2，
（3）$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=16-4=12，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=16+4-8=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{12}{2\sqrt{3}×4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．