Question

某機(jī)床廠每月生產(chǎn)某種精密數(shù)控機(jī)床10件，已知生產(chǎn)一件合格品能盈利8萬(wàn)元，生產(chǎn)一件次品將會(huì)虧損2萬(wàn)元．假設(shè)該精密數(shù)控機(jī)床任何兩件之間合格與否相互沒(méi)有影響．相關(guān)部門(mén)統(tǒng)計(jì)了近二年每個(gè)月生產(chǎn)的合格品，以生產(chǎn)最穩(wěn)定的年份估算2010工廠生產(chǎn)該精密數(shù)控機(jī)床的合格率．

合格品	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
2008	7	8	7	6	10	8	5	6	7	8	6	6
2009	9	8	7	8	8	8	9	7	8	10	7	7

參考數(shù)據(jù)：0.8⁴=0.410，0.8⁵=0.328，0.8⁶=0.262，0.8⁷=0.210，0.8⁸=0.168，0.8⁹=0.134，0.8¹⁰=0.107
（1）試確定2010年生產(chǎn)精密數(shù)控機(jī)床的合格率；
（2）若該工廠希望每月盈利額X不低于70萬(wàn)元，求該工廠達(dá)到盈利目標(biāo)的概率（將結(jié)果精確到0.01）．
（3）求該工廠每月盈利額X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）分別求出2008年和2009年生產(chǎn)精密數(shù)控機(jī)床的合格率、方差，由以生產(chǎn)最穩(wěn)定的年份估算2010工廠生產(chǎn)該精密數(shù)控機(jī)床的合格率，能得到2010年生產(chǎn)精密數(shù)控機(jī)床的合格率．
（2）設(shè)X表示合格品的個(gè)數(shù)，則X～B（10，0.8），X表示每月盈利額，則P（η≥70）=P（ξ≥9）=P（ξ=9）+P（ξ=10），由此能求出該工廠達(dá)到盈利目標(biāo)的概率．
（3）由X～B（10，0.8），能求出該工廠每月盈利額X的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）2008年生產(chǎn)精密數(shù)控機(jī)床的合格率為[

1

12

（7+8+7+6+10+8+5+6+7+8+6+6）÷12]×100%=70%，
方差S12=

1

12

[（7-7）²+（8-7）²+（7-7）²+（6-7）²+（10-7）²+（8-7）²
+（5-7）²+（6-7）²+（7-7）²+（8-7）²+（6-7）²+（6-7）²]=

20

12

=

5

3

，
2009年生產(chǎn)精密數(shù)控機(jī)床的合格率為[

1

12

（9+8+7+8+8+8+9+7+8+10+7+7）÷12]×100%=80%，
方差S22=

1

12

[（9-8）²+（8-8）²+（7-8）²+（8-8）²+（8-8）²+（8-8）²
+（9-8）²+（7-8）²+（8-8）²+（10-8）²+（7-8）²+（7-8）²]=

10

12

=

5

6

．
∵以生產(chǎn)最穩(wěn)定的年份估算2010工廠生產(chǎn)該精密數(shù)控機(jī)床的合格率，
∴2010年生產(chǎn)精密數(shù)控機(jī)床的合格率為0.8．
（2）設(shè)X表示合格品的個(gè)數(shù)，
則X～B（10，0.8），
X表示每月盈利額，
則P（η≥70）=P（ξ≥9）
=P（ξ=9）+P（ξ=10）
=

C

9 10

(

4

5

)9(

1

5

)+

C

10 10

(

4

5

)10
≈0.38．
（3）由X～B（10，0.8），知EX=10×0.8=8，
∵η=8ξ-2（10-ξ）=10ξ-20，
∴Eη=10Eξ-20=60（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．