設(shè)x=m和x=n是函數(shù)的兩個極值點，其中m＜n，a∈R．
（Ⅰ） 求f（m）+f（n）的取值范圍；
（Ⅱ） 若，求f（n）-f（m）的最大值．
注：e是自然對數(shù)的底數(shù)．
【答案】分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用極值的運(yùn)用，建立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求f（m）+f（n）的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)，確定t的范圍，表示出f（n）-f（m），構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），．
依題意，方程x2-（a+2）x+1=0有兩個不等的正根m，n（其中m＜n）．
故，∴a＞0，
并且m+n=a+2，mn=1．
所以，
=
故f（m）+f（n）的取值范圍是（-∞，-3）．   …（7分）
（Ⅱ）當(dāng)時，．
若設(shè)，則．
于是有，∴，∴t≥e
∴

構(gòu)造函數(shù)（其中t≥e），則．
所以g（t）在[e，+∞）上單調(diào)遞減，．
故f（n）-f（m）的最大值是．        …（15分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x=m和x=n是函數(shù)f(x)=lnx+
1
2
x2-(a+2)x的兩個極值點，其中m＜n，a∈R．
（Ⅰ） 求f（m）+f（n）的取值范圍；
（Ⅱ） 若a≥
e
+
1
e
-2，求f（n）-f（m）的最大值．
注：e是自然對數(shù)的底數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆遼寧省盤錦市高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù),函數(shù)g(x)=分別在x=m和x=n處取得極值，且

m<n

（1）求的值

（2）求證：f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù)

（3）設(shè)f(x)在區(qū)間[m,n]上的最大值和最小值分別為M和N,試問當(dāng)實數(shù)a為何值時，M-N取得最小值？并求出這個最小值

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=,函數(shù)g(x)=x3+ax2-2x分別在x=m和x=n處取得極值,且m＜n.

(1)求f(m)·f(n)的值;

(2)求證:f(x)在區(qū)間［m,n］上是增函數(shù);

(3)設(shè)f(x)在區(qū)間［m,n］上的最大值和最小值分別為M和N,試問當(dāng)實數(shù)a為何值時,M-N取得最小值?并求出這個最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省五校高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)x=m和x=n是函數(shù)的兩個極值點，其中m＜n，a∈R．
（Ⅰ） 求f（m）+f（n）的取值范圍；
（Ⅱ） 若，求f（n）-f（m）的最大值．
注：e是自然對數(shù)的底數(shù)．

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