Question

（2011•朝陽區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），離心率為

2

2

．過點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

BM

• 

BN

的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為k_AM和k_AN，求證：k_AM+k_AN為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率和（2，1）點(diǎn)代入橢圓方程可求得a和c，進(jìn)而求得b，方程可得．
（Ⅱ）由題意顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=k（x-3），聯(lián)立直線與橢圓的方程

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

，消去y得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．因?yàn)橹本�l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，所以△＞0，可得-1＜k＜1．再用坐標(biāo)表示出

BM

•

BN

即可求

BM

• 

BN

的取值范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）用坐標(biāo)表示出k_AM+k_AN化簡即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2 c a = 2 2 .

，解得a=

6

，b=

3

．故橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由題意顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．
因?yàn)橹本�l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．
設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x1+x2=

12k2

1+2k2

，x1x2=

18k2-6

1+2k2

，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
所以

BM

•

BN

=(x1-3)(x2-3)+y1y2
=（1+k²）[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]=

3+3k2

1+2k2

=

3

2

+

3

2(1+2k2)

．
因?yàn)?1＜k＜1，所以2＜

3

2

+

3

2(1+2k2)

≤3．
故

BM

• 

BN

的取值范圍為（2，3]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得k_AM+k_AN=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(kx1-3k-1)(x2-2)+(kx2-3k-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4

x1x2-2(x1+x2)+4

=

2k(18k2-6)-(5k+1)•12k2+(12k+4)(1+2k2)

18k2-6-24k2+4(1+2k2)

=

-4k2+4

2k2-2

=-2．
所以k_AM+k_AN為定值-2．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，利用直線與橢圓方程聯(lián)立，借助于根與系數(shù)的關(guān)系，從而使問題得解．