Question

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線(xiàn)l₁，l₂，設(shè)l₁與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l₂與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求

AD

•

EB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，列方程，并化解即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線(xiàn)l₁的方程，理想直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出兩根之和和兩根之積，同理可求出直線(xiàn)l₂的方程與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入

AD

•

EB

利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題意得

(x-1)2+y2

- |x|=1，
化簡(jiǎn)得y²=2x+2|x|．
當(dāng)x≥0時(shí)，y²=4x；當(dāng)x＜0時(shí)，y=0，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．
（Ⅱ）由題意知，直線(xiàn)l₁的斜率存在且不為零，設(shè)為k，則l₁的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直線(xiàn)l₂的斜率為-

1

k

．
設(shè)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1．
故

AD

•

EB

=(

AF

+

FD

)•(

EF

+

FB

)=

AF

•

EF

+

AF

•

FB

+

FD

•

EF

+

FD

•

FB

=|

AF|

•|

FB

|+|

FD|

•|

EF|

=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₃x₄+x₃+x₄+1
1+2+

4

k2

+1+1+2+4k²+1=8+4（k²+

1

k2

）≥8+4×2=16，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=

1

k2

，即k=±1時(shí)，

AD

•

EB

的最小值為16．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查代入法求拋物線(xiàn)的方程，以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，同時(shí)也考查了學(xué)生觀(guān)察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．