Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知$\frac{2a+b}{c}$=$\frac{cos（A+C）}{cosC}$．
（Ⅰ）求角C的大小，
（Ⅱ）若c=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，正弦定理，兩角和正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式得-2sinAcosC=sinA，結(jié)合sinA≠0，可求cosC=-$\frac{1}{2}$，即可得解C的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求ab≤$\frac{4}{3}$，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵A+C=π-B，即cos（A+C）=-cosB，
∴由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式得：$\frac{2sinA+sinB}{sinC}$=-$\frac{cosB}{cosC}$，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=-sinCcosB，即-2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）∵c=2，cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤$\frac{4}{3}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立），
∵S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)a=b時(shí)，△ABC面積最大為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)a=b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則當(dāng)a=b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，△ABC的面積最大為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，正弦定理，兩角和正弦函數(shù)公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．