Question

17．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1，且x＞0時(shí)，f（x）＞0
（1）求f（0）值
（2）判斷函數(shù)奇偶性并證明
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，求f（0）的值；
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求解．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0．
（2）．令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
∵f（0）=0，∴f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）在R上是奇函數(shù)．
（3）．f（x+y）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1，且x＞0時(shí)，f（x）＞0，
由f（x）+f（x+2）＜2，得f（x+x+2）＜f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{2}{3}$），
即f（2x+2）＜f（$\frac{2}{3}$），
下判斷函數(shù)的單調(diào)單調(diào)性．
設(shè)x₁＜x₂，且x₂=x₁+t，t＞0，
由f（x+y）=f（x）+f（y），得
f（x₂）=f（x₁）+f（t），
∵t＞0，∴f（t）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
∴由f（2x+2）＜f（$\frac{2}{3}$），
得2x+2＜$\frac{2}{3}$，
解得x＜-$\frac{2}{3}$．
∴x的取值范圍是（-∞，-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)常見的方法．本題綜合性較強(qiáng)．