(2012•武昌區(qū)模擬)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率為
1
2
,兩焦點(diǎn)之間的距離為4.
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線交拋物線y2=4x于A、B兩點(diǎn),
(1)求證:OA⊥OB;
(2)設(shè)OA、OB分別與橢圓相交于點(diǎn)D、E,過(guò)原點(diǎn)O作直線DE的垂線OM,垂足為M,證明|OM|為定值.
分析:(I)利用橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率為
1
2
,兩焦點(diǎn)之間的距離為4,即可確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)(1)設(shè)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)(4,0)的直線AB的方程為x=my+4,代入拋物線方程y2=4x,得y2-4my-16=0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),再驗(yàn)證x1x2+y1y2=0即可;
(2)設(shè)D(x3,y3)、E(x4,y4),直線DE的方程為x=ty+λ,代入
x2
16
+
y2
12
=1
,得(3t2+4)y2+6tλy+3λ2-48=0.
根據(jù)OD⊥OE,可得x3x4+y3y4=0,從而可得7λ2=48(t2+1),即可計(jì)算原點(diǎn)到直線DE的距離為定值.
解答:解:(Ⅰ)由
2c=4
c
a
=
1
2
a=4
c=2
,
故b2=a2-c2=12.
所以,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1

(Ⅱ)(1)設(shè)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)(4,0)的直線AB的方程為x=my+4.
代入拋物線方程y2=4x,得y2-4my-16=0.
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則
y1+y2=4m
y1y2=-16.

∴x1x2+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2=(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16=0.
∴OA⊥OB.
(2)設(shè)D(x3,y3)、E(x4,y4),直線DE的方程為x=ty+λ,代入
x2
16
+
y2
12
=1
,得(3t2+4)y2+6tλy+3λ2-48=0.
于是y3+y4=-
6tλ
3t2+4
,y3y4=
3λ2-48
3t2+4

從而x3x4=(ty3+λ)(ty4+λ)=
4λ2-48t2
3t2+4

∵OD⊥OE,
∴x3x4+y3y4=0.
代入,整理得7λ2=48(t2+1).
∴原點(diǎn)到直線DE的距離d=
|λ|
1+t2
=
4
21
7
為定值.
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的、拋物線的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理求解.
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(Ⅰ)計(jì)算a2,a3,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求滿(mǎn)足13<Sn<14的n的集合.

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2
5
2
5

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2
AD,E是線段PD上的點(diǎn),F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn),且
PE
ED
=
BF
FA
=λ(λ>0)

(Ⅰ)當(dāng)λ=1時(shí),證明DF⊥平面PAC;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)λ,使異面直線EF與CD所成的角為60°?若存在,試求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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n
2k
 
x+co
s
2k
 
x(x∈R)
,利用三角變換,估計(jì)fk(x)在k=l,2,3時(shí)的取值情況,對(duì)k∈N*時(shí)推測(cè)fk(x)的取值范圍是
1
2k-1
fk(x) ≤1
1
2k-1
fk(x) ≤1
(結(jié)果用k表示).

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滿(mǎn)意 一般 不滿(mǎn)意
A部門(mén) 50% 25% 25%
B部門(mén) 80% 0 20%
C部門(mén) 50% 50% 0
D部門(mén) 40% 20% 40%
(I)若市民甲選擇的是A部門(mén),求甲的調(diào)查問(wèn)卷被選中的概率;
(11)若想從調(diào)查問(wèn)卷被選中且填寫(xiě)不滿(mǎn)意的市民中再選出2人進(jìn)行電視訪談,求這兩人中至少有一人選擇的是D部門(mén)的概率.

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