Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}，a_n∈N^*，S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²．若b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30，求數(shù)列 {b_n}的前15項(xiàng)和的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n及前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²，可以得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而由b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，再由此求其最小值，最小值有兩種求法，其一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，其二是找出正負(fù)轉(zhuǎn)折的項(xiàng)．即可得到結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+1+2）²-$\frac{1}{8}$（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．
∵a_n∈N^*，
∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-4=0．
即a_n+1-a_n=4，∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{8}$（a₁+2）²，解得a₁=2．
∴a_n=4n-2，
b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30=2n-31，（以下用兩種方法求解）
法一：由b_n=2n-31可得：首項(xiàng)b₁=-29，公差d=2
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-30n=（n-15）²-225
∴當(dāng)n=15時(shí)，s_n=-225為最小，
法二：由$\left\{\begin{array}{l}{2n-31≤0}\\{2（n+1）-31≥0}\end{array}\right.$得$\frac{29}{2}$≤n≤$\frac{31}{2}$．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15項(xiàng)為負(fù)值，以后各項(xiàng)均為正值．
∴S_15最小，
故答案為：15

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，在求出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題是數(shù)列中較為常見(jiàn)的一種類(lèi)型，主要方法有兩種：法一只適用于等差數(shù)列的和的最值問(wèn)題，對(duì)于其他數(shù)列，因?yàn)椴荒苻D(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)，所以無(wú)法使用，有一定的局限性；法二是常規(guī)方法，使用范圍廣，其特點(diǎn)是找到遞增或遞減的數(shù)列中正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的轉(zhuǎn)折“點(diǎn)”而得到答案．