Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+3x2﹣9x+m
（1）求函數(shù)f（x）=x3+3x2﹣9x+m的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值12，求函數(shù)f（x）在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+6x﹣9=3（x+3）（x﹣1），

令f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣3；

令f′（x）＜0，得﹣3＜x＜1．

∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為：（﹣∞，﹣3），（1，+∞）

（2）解：由（1）知，f′（x）=3x2+6x﹣9=3（x+3）（x﹣1），

令f′（x）=0，得x=1或x=﹣3（舍）．

當(dāng)x在閉區(qū)間[0，2]變化時(shí)，f′（x），f（x）變化情況如下表

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	m	單調(diào)遞減	m﹣5	單調(diào)遞增	2+m

∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取最大值f（x）max=f（2）=m+2，由已知m+2=12，得m=10．

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最小值f（x）min=f（1）=m﹣5=5

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，直接由導(dǎo)函數(shù)大于0求解不等式得答案；（2）由（1）可得f（x）在（0，2）上的單調(diào)性，求得極值，再求出f（0）、f（2）比較得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．