Question

已知f（x）為二次函數(shù)，且f（-1）=2，f′（0）=0，∫₀¹f（x）dx=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)，根據(jù)條件建立三個方程，求出參數(shù)即可．
（2）本題是二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，通常從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區(qū)間；開口向上，對稱軸為x=0，故在對稱軸處取最小值，在±1處取最大值．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
則f′（x）=2ax+b．
由f（-1）=2，f′（0）=0得

a-b+2=0 b=0

即

c=2-a b=0

∴f（x）=ax²+（2-a）．
又∫₀¹f（x）dx=∫₀¹[ax²+（2-a）]dx
=[

1

3

ax³+（2-a）x]|₀¹=2-

2

3

a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
從而f（x）=6x²-4．
（2）∵f（x）=6x²-4，x∈[-1，1]，
所以當(dāng)x=0時f（x）_min=-4；
當(dāng)x=±1時，f（x）_max=2．

點評：本題主要考查了定積分，以及函數(shù)的最值及集合意義，屬于基礎(chǔ)題．