Question

11．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A-BD₁-B₁的大小是（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BD₁-B₁的大小．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
則A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{BA}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），
設平面ABD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-x-y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$，
設平面BB₁D₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-a-b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），
設二面角A-BD₁-B₁的大小為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
∴二面角A-BD₁-B₁的大小為$\frac{2π}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查二面角的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．