Question

已知函數f（x）=x³-ax²．
（1）若a=3，求函數f（x）的極大值和極小值；
（2）在（1）的條件下，當k滿足什么條件時，方程f（x）+k=0只有兩個解；
（3）若函數f（x）的圖象的切線過點（0，1），且過該點的切線有兩點，求實數a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=3代入函數f（x）=x³-ax²，求導，解出極值點，列出表格即可求解；
（2）由（1）的表格，畫出草圖即可求解；
（3）首先設出切點，根據函數f（x）的圖象的切線過點（0，1），且過該點的切線有兩條，根據斜率和導數的關系列出方程，可知方程只有兩個根，根據數形結合的方法可以求出a值．
解答：解：（1）由于a=3，則f（x）=x³-3x²，所以f'（x）=3x²-6x=0，得x₁=0，x₂=2

x	（-∞，0）		（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	↗		↘	-4	↗

∴f_極大值（x）=f（0）=0f_極小值（x）=f（2）=-4
（2）由（1）得k=0或k=4時只有兩解；
（3）∵函數f（x）的圖象的切線過點（0，1），且過該點的切線有兩條，
∴設切點為（x，x³-ax²），又切線過點（0，1），f′（x）=3x²-2ax，
∴，
化簡得2x³-ax²+1=0…①，∵有兩條切線，
∴方程①只能有兩個根，
∵2x³-ax²=-1，令h（x）=2x³-ax²，y=-1，則h′（x）=6x²-2ax，令h′（x）=0，解得，x₁=0，x₂=，
畫出h（x）的圖象：利用數形結合可得，要是方程①只有兩個根，∴h（）=-1，
∴2׳-a×=-1，解得a=3．
點評：此題主要考查例如函數的導數研究函數的極大值和極小值，列出表格可以畫出函數的大致草圖，此題第三問比較難，利用數形結合的方法求出a的值，難度比較大．