Question

已知平面內動點P（x，y）到定點F（1，0）的距離與其到定直線l：x=4的距離之比是，設動點P的軌跡為M，軌跡M與x軸的負半軸交于點A，過點F的直線交軌跡M于B、C兩點．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：當且僅當直線BC垂直于x軸時，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形；
（3）△ABC的面積是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得=，則4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，由此能求出軌跡M的方程．
（2）由軌跡M與x軸的負半軸交于點A（-2，0）．知直線BC過點A時，A，B，C三點不能構成三角形，故直線BC的斜率不等于0，設直線BC的方程為x=my+1，由，得（3m²+4）y²+6my-9=0．再由韋達定理進行求解．
（3）設△ABC的面積存在最值．由點A到直線BC的距離d=，|BC|==12=．故△ABC的面積S=|BC|•d=．由此能夠導出△ABC的面積S∈（0，]．
解答：解：（1）由題意得=，
則4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，
即3x²+4y²=12，∴+=1，即是軌跡M的方程．
（2）由（1）易知軌跡M與x軸的負半軸交于點A（-2，0）．
直線BC過點A時，A，B，C三點不能構成三角形，故直線BC的斜率不等于0，故可設直線BC的方程為x=my+1，由，得（3m²+4）y²+6my-9=0．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則
y₁+y₂=-
如果△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，必有|AB|=|AC|，
∴（x₁+2）²+y₁²=（x₂+2）²+y₂²，
∴（x₁+x₂+4）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴[m（y₁+y₂）+6][m（y₁-y₂）]+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵y₁≠y₂，∴（m²+1）（y₁+y₂）+6m=0，
∴（m²+1）（-）+6m=0，
∴m=0或=1（無解），即如果△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，則m=0，此時直線BC垂直于x軸．
反之，當直線BC垂直于x軸時，直線BC的方程是x=1，
易知B（1，-），C（1，）或B（1，），C（1，-），
此時|BC|=3，|AB|=|AC|=，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，
故直線BC垂直于x軸時，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形．
綜上可得：當且僅當直線BC垂直于x軸時，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形．
（3）存在最大值，不存在最小值．
設△ABC的面積存在最值．由（2）知點A到直線BC的距離d=；
|BC|=
=
=
=12=．
故△ABC的面積S=|BC|•d=．
令t=，則t≥1且m²=t²-1，則==，
令g（t）=3t+，則g′（t）=3-，當t≥1時g′（t）恒大于0，
故函數g（t）=3t+在[1，+∞）上單調遞增，故函數g（t）的值域為[4，+∞），故∈（0，]，
所以△ABC的面積S∈（0，]，即△ABC的面積存在最大值，不存在最小值．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意培養(yǎng)解題能力，提高解題技巧．