Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M，N分別為AA₁、BB₁的中點．
求：（1）CM與D₁N所成角的余弦值．
（2）D₁N與平面MBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標原點，以DA，DC，DD₁分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系D-xyz，分別求出CM與D₁N的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出CM與D₁N所成角的余弦值．
（2）結(jié)合（1）中D₁N的方向向量求出平面MBC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出D₁N與平面MBC所成角的余弦值．

解答：解：（1）以D為坐標原點，以DA，DC，DD₁分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，D-xyz，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M，N分別為AA₁、BB₁的中點
則C（0，2，0）、D₁（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1）
∴

CM

=(2，-2，1)，

D1N

=(2，2，-1)
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM | D1N ||

=-

1

9

但CM與D₁N所成的角應是＜

CM

，

D1N

＞的補角，∴CM與D₁N所成的角的余弦值為

1

9

（2）

BM

=(0，-2，1)，

BC

=(-2，0，0)則可得平面MBC的法向量

n

=(0，1，2），

D1N

與

n

夾角的余弦值cos＜

D1N

，

n

＞=0，則D₁N與平面MBC所成角的余弦值為1

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，其中建立適當?shù)目臻g坐標系，將空間直線與直線，直線與平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關鍵．