Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx-2x+a，其中a∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0沒有實(shí)根，求a的取值范圍；
（3）證明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²，其中n≥2．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0沒有實(shí)根，由（1）可得f（x）在x=e處取得極小值，且f（x）=0沒有實(shí)根，即可求a的取值范圍；
（3）方法一：利用?x＞0，xlnx＞2x-3恒成立，即可證明ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²．
方法二：利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證n=2成立，然后通過假設(shè)，證明n=k+1不等式也成立即可．

解答：解：（1）由題意可知：f'（x）=lnx-1，令f'（x）=0，得x=e，（1分）
則當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；（2分）
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增（4分）
（2）由（1）可得f（x）在x=e處取得極小值，且f（x）=0沒有實(shí)根，（6分）
則minf（x）=f（e）＞0，即a-e＞0，解得：a＞e（8分）
（3）方法1：由（2）得，令a=3＞e，f（x）=xlnx-2x+3＞0成立，
則?x＞0，xlnx＞2x-3恒成立（10分）
故ln1+2ln2+3ln3++nlnn=2ln2+3ln3++nlnn＞（2•2-3）+（2•3-3）+（2•4-3）++（2•n-3）=2•

(n+2)(n-1)

2

-3(n-1)=（n-1）²，即得證．（14分）
方法2：數(shù)學(xué)歸納法
（1）當(dāng)n=2（2）時(shí)，ln1+2ln2＞1²（3）成立；
（4）當(dāng)n=k（5）時(shí)，ln1+2ln2+3ln3++klnk＞（k-1）²（6）成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，ln1+2ln2+3ln3++klnk+（k+1）ln（k+1）＞（k-1）²+（k+1）ln（k+1）
同理令a=3＞e，xlnx＞2x-3，即（k+1）ln（k+1）＞2（k+1）-3，（10分）
則（k-1）²+（k+1）ln（k+1）＞（k-1）²+2（k+1）-3=k²，（12分）
故ln1+2ln2+3ln3++klnk+（k+1）ln（k+1）＞k²，
即ln1+2ln2+3ln3++klnk＞（k-1）²對(duì)n=k+1也成立，
綜合（1）（2）得：?n≥2，ln1+2ln2+3ln3++nlnn＞（n-1）²恒成立．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．