Question

 

田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事. 設(shè)齊王的3匹馬分別為A、B、C，田忌的3匹馬分別為a，b，c，6匹馬的奔跑速度由快到慢的順序依次為：A，a，B，b，C，c. 兩人約定：6匹馬均需參賽，共賽3場，每場比賽雙方各出1匹馬，最終至少勝兩場者為獲勝.

   （1）如果雙方均不知道對方的出馬順序，求田忌獲勝的概率；

  （2）頗有心計的田忌賽前派探子到齊王處打探實情，得知齊王第一場必出A馬. 那么，田忌應(yīng)怎樣安排馬的出場順序，才能使獲勝的概率最大？

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 記A與a比賽為（A，a），其它同理．

（l）（方法1）齊王與田忌賽馬，有如下6種情況：

（A，a）,（B，b）,（C，c）；（A，a）,（B，c）,（C，b）；

（A，b）,（B，c）,（C，a）；（A，b）,（B，a）,（C，c）；

（A，c）,（B，a）,（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）.  ……………2分

其中田忌獲勝的只有一種：（A，c）,（B，a）,（C，b）.   ……………………4分

故田忌獲勝的概率為.      …………………………………7分

（方法2）齊王與田忌賽馬對局有6種可能：

A   B   C

a   b   c

a   c   b

b   a   c

b   c   a

c   a   b

c   b   a       ……………………………………………………………2分

其中田忌獲勝的只有一種：（A，c）,（B，a）,（C，b）.      ………………4分

若齊王出馬順序還有ACB , BAC , BCA，CAB，CBA等五種；每種田忌有一種可以獲勝．

故田忌獲勝的概率為．  ……………………………………7分

（2）已知齊王第一場必出上等馬A，若田忌第一場必出上等馬a或中等馬b，則剩下二場，田忌至少輸一場，這時田忌必�。疄榱耸棺约韩@勝的概率最大，田忌第一場應(yīng)出下等馬c．……9分

后兩場有兩種情形：

①若齊王第二場派出中等馬B，可能的對陣為：（B，a）,（C，b）或（B，b）,（C，a）．

田忌獲勝的概率為.     ……………………………………………………11分

②若齊王第二場派出下等馬C，可能的對陣為：（C，a）,（B，b）或（C，b）,（B，a）．

田忌獲勝的概率也為．   ……………………………………………………13分

所以，田忌按c , a , b或c , b , a的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達(dá)到最大…14分

答：（l）田忌獲勝的概率．

（2）田忌按c , a , b或c , b , a的順序出馬，才能使獲勝的概率達(dá)到最大為……15分