Question

7．已知圓M過點P（2，0），Q（-1，$\sqrt{3}$），且點P關(guān)于直線x+2y=0的對稱點P′仍在圓M上．
（1）求圓M的方程；
（2）設(shè)P（x，y）是圓M上任意一點A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2）求PA²+PB²+PC²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為（-2a，a），利用圓M過點P（2，0），Q（-1，$\sqrt{3}$），建立方程，求出圓心與半徑，即可求圓M的方程；
（2）表示出PA²+PB²+PC²，結(jié)合x²+y²=4，利用配方法求PA²+PB²+PC²的最大值和最小值．

解答 解：（1）由題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為（-2a，a），則
∵圓M過點P（2，0），Q（-1，$\sqrt{3}$），
∴（2+2a）²+a²=（-1+2a）²+（$\sqrt{3}$-a）²，
∴a=0，
∴圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為2，
∴圓M的方程為x²+y²=4；
（2）設(shè)P點為（x，y），則：
f（x）=PA²+PB²+PC²=（x+2）²+（y+2）²+（x+2）²+（y-6）²+（x-4）²+（y+2）²=3x²+3y²-4y+68，
∵x²+y²=4，∴x²=4-y²，
∴f（x）=12-3y²+3y²-4y+68=80-4y，
∵-2≤y≤2，
∴當(dāng)y=-2，f（x）有最大值88；當(dāng)y=2，f（x）有最小值72．

點評 本題考查圓的方程，考查兩點間距離公式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．