Question

（2012•大連二模）已知函數(shù)f(x)=

a

2

x2-(a2+1)x+alnx(常數(shù)a∈R且a≠0)
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增時(shí)，若x₁，x₂∈（0，2），且f（x₁）+f（x₂）=2f（a），試比較

x1+x2

2

與a的大�。�

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=

a(x- 1 a )(x-a)

x

，分a＜0，a＞1，0＜a＜1，和a=1進(jìn)行討論，可得f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為只需比較x₂與2-x₁的大小，作差后構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得最值，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=ax-(a2+1)+

a

x

=

ax2-(a2+1)x+a

x

=

(ax-1)(x-a)

x

=

a(x- 1 a )(x-a)

x

（1）當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f'（x）＜0解集為(

1

a

，a)，f'（x）＞0解集為(0，

1

a

)∪(a，+∞)，
∴f（x）在(

1

a

，a)遞減，在(0，

1

a

)，(a，+∞)上遞增；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f'（x）＜0解集為(a，

1

a

)，f'（x）＞0解集為(0，a)∪(

1

a

，+∞)，
∴f（x）在(a，

1

a

)遞減，在(0，a)，(

1

a

，+∞)上遞增；
（4）當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）＞0解集為（0，1）∪（1，+∞），
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）上遞增，且f（x）在x=1不間斷，所以f（x）在（0，+∞）遞增；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f(x)=

x2

2

-2x+lnx，
要比較

x1+x2

2

與1的大小，只需比較x₂與2-x₁的大小..…（6分）
因?yàn)?span id="skk2suw" class="MathJye">f(x2)-f(2-x1)=-3-f(x1)-f(2-x1)=-

x

2 1

+2x1-1-lnx1-ln(2-x1)
設(shè)F(x1)=-

x

2 1

+2x1-1-lnx1-ln(2-x1)．…（8分）
則F′(x1)=

2(x1-1)3

x1(2-x1)

當(dāng)x₁∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)'（x₁）＜0，F(xiàn)（x₁）為減函數(shù)，
當(dāng)x₁∈（1，2）時(shí)，F(xiàn)'（x₁）＞0，F(xiàn)（x₁）為增函數(shù)，
所以F（x₁）≥F（1）=0…（10分）
所以f（x₂）≥f（2-x₁），又因?yàn)閒（x）為增函數(shù)，
所以x₂≥2-x₁，所以

x1+x2

2

≥1，即

x1+x2

2

≥a…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及單調(diào)性的性質(zhì)和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．