Question

20．設數列{x_n}的前n項和為S_n，且4x_n-S_n-3=0（n∈N^*）；
（1）求數列{x_n}的通項公式；
（2）若數列{y_n}滿足y_n+1-y_n=x_n（n∈N^*），且y₁=2，求滿足不等式${y_n}＞\frac{55}{9}$的最小正整數n的值．

Answer 1

分析 （1）由4x_n-S_n-3=0（n∈N^*），可得n=1時，4x₁-x₁-3=0，解得x₁．n≥2時，由S_n=4x_n-3，可得x_n=S_n-S_n-1，利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）y_n+1-y_n=x_n=$（\frac{4}{3}）^{n-1}$，且y₁=2，利用y_n=y₁+（y₂-y₁）+（y₃-y₂）+…+（y_n-y_n-1）與等比數列的求和公式即可得出y_n．代入不等式${y_n}＞\frac{55}{9}$，化簡即可得出．

解答 解：（1）∵4x_n-S_n-3=0（n∈N^*），∴n=1時，4x₁-x₁-3=0，解得x₁=1．
n≥2時，由S_n=4x_n-3，∴x_n=S_n-S_n-1=4x_n-3-（4x_n-1-3），∴x_n=$\frac{4}{3}{x}_{n-1}$，∴數列{x_n}，是等比數列，公比為$\frac{4}{3}$．
∴x_n=$（\frac{4}{3}）^{n-1}$．
（2）y_n+1-y_n=x_n=$（\frac{4}{3}）^{n-1}$，且y₁=2，
∴y_n=y₁+（y₂-y₁）+（y₃-y₂）+…+（y_n-y_n-1）
=2+1+$\frac{4}{3}$+$（\frac{4}{3}）^{2}$+…+$（\frac{4}{3}）^{n-2}$=2+$\frac{1-（\frac{4}{3}）^{n-1}}{1-\frac{4}{3}}$=3×$（\frac{4}{3}）^{n-1}$-1．當n=1時也滿足．
∴y_n=3×$（\frac{4}{3}）^{n-1}$-1．
不等式${y_n}＞\frac{55}{9}$，化為：$（\frac{4}{3}）^{n-1}$$＞\frac{64}{27}$=$（\frac{4}{3}）^{3}$，∴n-1＞3，解得n＞4．
∴滿足不等式${y_n}＞\frac{55}{9}$的最小正整數n的值為5．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、“累加求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．