Question

已知函數(shù).

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（III）若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I） （II） （III）

【解析】

試題分析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.

（Ⅰ）函數(shù),

當(dāng)時(shí),.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.       3分

（Ⅱ）因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．

所以當(dāng)時(shí)，．

又，

故當(dāng)，即時(shí)，，所以，故

所以的最小值為.

（Ⅲ）“若，使成立”等價(jià)于

“當(dāng)時(shí)，有”，

有（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，有，，

問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ），在上為減函數(shù).

則，故.

當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)，

故的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080312300587333349/SYS201308031231265273997478_DA.files/image038.png">，即．

由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

所以，=，．

所以，，與矛盾，不合題意．

綜上，.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．