已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145．

(1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn；

(2)設數(shù)列{an}的通項an＝loga(1＋)(a>0且a≠1)，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn＋1大小，并證明你的結論．

 

答案：
解析：

解：(1)設數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得

，bn＝3n－2

(2)Sn＝loga(1＋1)＋loga(1＋)＋…＋loga(1＋)

＝loga［(1＋1)(1＋)…(1＋)］

logabn＋1＝loga(3n＋1)＝loga

因此要比較Sn與logabn＋1的大小，只需比較(1＋1)(1＋)…(1＋)與的大小即可．

當n＝1時，1＋1＝2>＝．

n＝2時(1＋1)(1＋)＝>

n＝3時(1＋1)(1＋)(1＋)＝>．

由此推測(1＋1)(1＋)…(1＋)>，(1)

證明：(1)當n＝1時已驗證．

(2)假設當n＝k時(1)式成立

即(1＋1)(1＋)…(1＋)>

則當n＝k＋1時(1＋1)(1＋)…(1＋)［1＋］>(1＋)＝(3k＋2)

∵［(3k＋2)］3－()3＝>0

∴(3k＋2)> ＝

(1＋1)(1＋)…(1＋)(1＋)>

即當n＝k＋1時，(1)式成立．

由(1)、(2)知對于任意正整數(shù)都成立．

當a>1時，Sn>logabn＋1，當0<a<1時，Sn<logabn＋1．

 


提示：

通過令n＝1，2，3求出a2，a3，a4由此歸納出an再用數(shù)學歸納法證明．

 


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充要條件
充要條件
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a
2
n
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充要條件
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