【題目】已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1= ,公比q= 的等比數(shù)列,設(shè)bn+2=3 an(n∈N*),數(shù)列{cn}滿足cn=anbn
(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若cn m2+m﹣1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)證明:由題意得,an= = ,

又bn+2=3 an(n∈N*),則bn+2=3 =3n,

所以bn=3n﹣2,即bn+1﹣bn=3,且b1=1,

所以{bn}是為1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列


(2)證明:解:由(1)得,an= ,bn=3n﹣2

所以cn=anbn= ,

則Sn= ①,

Sn= ②,

① ﹣②得, Sn=

=

= ,

所以Sn=


(3)證明:由(2)得,cn= ,

cn+1﹣cn= =

所以當(dāng)n=1時(shí),c2=c1=

當(dāng)n≥2時(shí),c2=c1>c3>c4>c5>…>cn

則當(dāng)n=1或2時(shí),cn的最大值是 ,

因?yàn)閏n m2+m﹣1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,

所以 m2+m﹣1,即m2+4m﹣5≥0,解得m≥1或m≤﹣5,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥1或m≤﹣5


【解析】(1)根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an , 再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出bn , 根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明;(2)由(1)和題意求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和;(3)先化簡(jiǎn)cn+1﹣cn , 再根據(jù)結(jié)果的符號(hào)與n的關(guān)系,判斷出數(shù)列{cn}的最大項(xiàng),將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的不等式,再求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】種子發(fā)芽率與晝夜溫差有關(guān).某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)此進(jìn)行研究,他們分別記錄了3月12日至3月16日的晝夜溫差與每天100顆某種種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),如下表:

(I)從3月12日至3月16日中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為c,d,求事件“c,d均不小于25”的概率;

(II)請(qǐng)根據(jù)3月13日至3月15日的三組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程

(III)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)誤差均不超過(guò)2顆,則認(rèn)為回歸方程是可靠的,試用3月12日與16日的兩組數(shù)據(jù)檢驗(yàn),(II)中的回歸方程是否可靠?

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(1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的概率;
(2)用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任意抽取2件產(chǎn)品,求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率.

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A.( ,1)∪(1,+∞)
B.(0, )∪(1,+∞)??
C.( ,1)∪(1,2)
D.(0, )∪(1,2)

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③三棱錐N﹣A1BC的體積為VNA BC= a3;
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D. 當(dāng)時(shí),“”是“”的充分不必要條件

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