Question

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2a＋1(a是常數(shù)，且a≠－1)，

an＝2an－1＋n2－4n＋2(n≥2)，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＝a，

bn＝an＋n2(n≥2)．

(1)證明：{bn}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；

(2)設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且{Sn}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)當(dāng)a>0時(shí)，求數(shù)列{an}的最小項(xiàng)．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）a＝－（3）當(dāng)a∈時(shí)，最小項(xiàng)為8a－1；當(dāng)a＝時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a－1；當(dāng)a∈時(shí)，最小項(xiàng)為4a；當(dāng)a＝時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a＋1；

當(dāng)a∈時(shí)，最小項(xiàng)為2a＋1.

【解析】(1)證明：∵bn＝an＋n2，∴bn＋1＝an＋1＋(n＋1)2＝2an＋(n＋1)2－4(n＋1)＋2＋(n＋1)2＝2an＋2n2＝2bn(n≥2)．

由a1＝2a＋1，得a2＝4a，b2＝a2＋4＝4a＋4，∵a≠－1，

∴b2≠0，即{bn}從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列．

(2)【解析】
由(1)知bn＝

Sn＝a＋＝－3a－4＋(2a＋2)2n，當(dāng)n≥2時(shí)，

＝.

∵{Sn}是等比數(shù)列，∴ (n≥2)是常數(shù)，∴3a＋4＝0，即a＝－.

(3)【解析】
由(1)知當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝(4a＋4)2n－2＝(a＋1)2n，

∴an＝

∴數(shù)列{an}為2a＋1，4a，8a－1，16a，32a＋7，…

顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)．

當(dāng)a∈時(shí)，最小項(xiàng)為8a－1；當(dāng)a＝時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a－1；

當(dāng)a∈時(shí)，最小項(xiàng)為4a；當(dāng)a＝時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a＋1；

當(dāng)a∈時(shí)，最小項(xiàng)為2a＋1.