Question

選修4-5：不等式選講
已知|x-2y|=5，求證：x²+y²≥5．

Answer 1

解：由柯西不等式，得（x²+y²）[1²+（-2）²]≥（x-2y）²
即5（x²+y²）≥（x-2y）²=|x-2y|²
∵|x-2y|=5，
∴5（x²+y²）≥25，化簡(jiǎn)得x²+y²≥5．
當(dāng)且僅當(dāng)2x=-y時(shí)，即x=-1，y=2時(shí)，x²+y²的最小值為5
∴不等式x²+y²≥5成立．
分析：根據(jù)柯西不等式，得5（x²+y²）≥|x-2y|²，結(jié)合已知等式|x-2y|=5，得x²+y²≥5，再利用不等式取等號(hào)的條件加以檢驗(yàn)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題給出條件等式，叫我們證明不等式恒成立，考查了運(yùn)用柯西不等式證明不等式恒成立和不等式的等價(jià)變形等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．