Question

6．若函數(shù)f（x）=$\frac{2{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+${∫}_{0}^{x}$cos xdx在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，則m+n的值是（　�。�

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 求定積分得到函數(shù)f（x）的解析式，構(gòu)造奇函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}+ln（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）+sinx$，由于奇函數(shù)圖象的對稱性，得到函數(shù)值域的對稱，再對應研究函數(shù)f（x）的值域，得到本題結(jié)論．

解答 解：f（x）=$\frac{2{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+${∫}_{0}^{x}$cos xdx
=$\frac{2{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+$sinx{|}_{0}^{x}$
=$\frac{2{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+sinx
=$\frac{2{e}^{x}}{{e}^{x}+1}-1+ln（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）+sinx+1$．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}+ln（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）+sinx$，定義域為R，
又g（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}+ln（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）+sin（-x）$
=$\frac{\frac{1}{{e}^{x}}-1}{\frac{1}{{e}^{x}}+1}+ln\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}-sinx$
=-$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}-ln（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）-sinx$
=-g（x）．
∴g（x）為奇函數(shù)，
∵f（x）=g（x）+1，
∴g（x）=f（x）-1，
∵f（x）在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，
∴當f（x）取得最大值n時，g（x）也取得最大值g（x）_max=n-1，
f（x）取得最小值m時，g（x）也取得最小值g（x）_min=m-1，
∵函數(shù)g（x）的圖象關于原點對稱，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的最大值和最小值互為相反數(shù)，
即g（x）_max+g（x）_min=n-1+m-1=0，
∴m+n=2．
故選：B．

點評 本題考查定積分的求法，考查了奇函數(shù)的對稱性和值域，構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)在對稱區(qū)間上最值互為相反數(shù)建立方程進行求解是解決本題的關鍵，是中檔題．