Question

(本題滿分10分)

拋物線(p>0)的準(zhǔn)線方程為，該拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離與到定點(diǎn)N的距離都相等，以N為圓心的圓與直線 都相切。

（Ⅰ）求圓N的方程；

（Ⅱ）是否存在直線同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，若存在，求出的方程；若不存在請(qǐng)說明理由.

① 分別與直線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為；

② 被圓N截得的弦長為．

Answer 1

(本題滿分10分)

（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線的方程為，

所以，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)N是拋物線的焦點(diǎn)，則定點(diǎn)N的坐標(biāo)為．

所以 圓N的方程．                              3分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線滿足兩個(gè)條件，顯然斜率存在，

設(shè)的方程為，,

以N為圓心，同時(shí)與直線 相切的圓N的半徑為，    5分

方法1：因?yàn)?sub>被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，

即，解得，

當(dāng)時(shí)，顯然不合AB中點(diǎn)為的條件，矛盾！

當(dāng)時(shí)，的方程為 ，                          7分

由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為，

由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為，

顯然AB中點(diǎn)不是，矛盾！  所以不存在滿足條件的直線．        10分

方法2：假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?i>AB中點(diǎn)為，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為， 

又點(diǎn)B 在直線上，所以，    

所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為4，

所以的方程為，                                      7分

圓心N到直線的距離，  

因?yàn)?sub>被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！

所以不存在滿足條件的直線．                                     10分