Question

17．函數(shù)f（x）的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得①x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$；②曲線在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線平行于直線AB，則稱存在“中值相依切線”，則下列函數(shù)中不存在“中值相依切線”的有（　�。�
（1）f（x）=x³-x；（2）f（x）=sinx+cosx；
（3）f（x）=x²；（4）f（x）=lnx．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 對于（1），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和兩點(diǎn)的斜率，解方程即可判斷；對于（2），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和兩點(diǎn)的斜率，結(jié)合和差公式，解方程即可判斷；對于（3），求得導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和兩點(diǎn)的斜率，解方程即可判斷；對于（4），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和兩點(diǎn)的斜率，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)h（t）=lnt+$\frac{4}{t+1}$，解方程即可判斷．

解答 解：對于（1），假設(shè)存在M，f（x）=x³-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-1，k_AB=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁²+x₂²+x₁x₂-1，
在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率為3x₀²-1=3（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²-1，即有x₁²+x₂²+x₁x₂-1=3（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²-1，
化簡可得（x₁-x₂）²=0，即x₁=x₂，這與A，B不重合矛盾，故不存在；
對于（2），假設(shè)存在M，f（x）=sinx+cosx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=cosx-sinx，
k_AB=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2}sin（{x}_{1}+\frac{π}{4}）-\sqrt{2}sin（{x}_{2}+\frac{π}{4}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}cos（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{π}{4}）sin\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率為cosx₀-sinx₀=$\sqrt{2}$cos（x₀+$\frac{π}{4}$），若x₀=$\frac{π}{4}$時，
顯然AB的斜率等于切線的斜率，故存在點(diǎn)M；
對于（3），假設(shè)存在點(diǎn)M，f（x）=x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x，k_AB=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁+x₂，
點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率為2x₀=x₁+x₂，故存在；
對于（4），假設(shè)存在點(diǎn)M，f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$，k_AB=$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
曲線在點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線斜率為$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，由$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
可得ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，可設(shè)t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（t＞1），可得lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
即為lnt+$\frac{4}{t+1}$=2，由h（t）=lnt+$\frac{4}{t+1}$的導(dǎo)數(shù)為h′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
h（t）在（1，+∞）遞增，即有h（t）＞h（1）=2，則lnt+$\frac{4}{t+1}$=2無解，故不存在．
綜上可得，（1），（4）不存在；（2），（3）存在．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．