Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b，其中a＜0，如果存在實數(shù)t，使f′（t）＜0，則f′（2-t）•f′（

3t+1

4

）的值（　�。�

• A、必為正數(shù)
• B、必為負數(shù)
• C、必為非負
• D、必為非正

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則f′（x）為開口向上的拋物線，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷f′（2-t）與f′（

3t+1

4

）的符號即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³-x²+ax+b，
∴使f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1），
二次函數(shù)的對稱軸為x=1，頂點為（1，a-1），開口向上的拋物線，
若f'（t）＜0，所以a＜1，
而對稱軸與x軸的交點分別為：（1-

1-a

，0）和 （1+

1-a

，0），兩交點的水平距離為2．
通過觀察f'（x）圖象可知：
∵f'（t）＜0，
∴t范圍為∈（1-

1-a

，1+

1-a

）
∵1-

1-a

＜t＜1+

1-a

，
∴-1-

1-a

＜-t＜-1+

1-a

，1-

1-a

＜2-t＜1+

1-a

，
此時f′（2-t）＜0．
∵1-

1-a

＜t＜1+

1-a

，
∴3-3

1-a

＜3t＜3+3

1-a

，4-3

1-a

＜3t+1＜4+3

1-a

，
則

4-3 1-a

4

＜

3t+1

4

＜

4+3 1-a

4

，
即1-

3 1-a

4

＜

3t+1

4

＜1+

3 1-a

4

，
則（1-

3 1-a

4

，1+

3 1-a

4

）?∈（1-

1-a

，1+

1-a

），
∴f′（

3t+1

4

）＜0，
即f′（2-t）•f′（

3t+1

4

）＞0．
故選：A

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的推理能力．