Question

10．過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₁作一條傾角為45°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若滿足$\overrightarrow{A{F_1}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F_1}B}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若橢圓C的左焦點(diǎn)F₂到直線AB的距離為2，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理以及向量關(guān)系，推出橢圓的離心率．
（2）設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出方程求解即可．

解答 解：（1）設(shè)過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₁作一條傾角為45°的直線方程為：x=y+c，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=y+c}\\{{b^2}{x^2}+{a^2}{y^2}={a^2}{b^2}}\end{array}$
得（a²+b²）y²+2cb²y-b⁴=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
${y_1}+{y_2}=\frac{{-2c{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}，{y_1}{y_2}=\frac{{-{b^4}}}{{{a^2}+{b^2}}}$
又因?yàn)?\overrightarrow{A{F_1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{F_1}B}$，得y₂=-2y₁得a²+b²=8c²
∴$e=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
（2）直線AB：x-y+c=0，則$\frac{2c}{{\sqrt{2}}}=2∴c=\sqrt{2}，a=3$，可得b=$\sqrt{9-2}$=$\sqrt{7}$．
橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$．

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．