Question

（湖南卷理21）已知函數(shù)f(x)=ln²(1+x)-.

(I )  求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）.求的最大值.

Answer 1

【試題解析】

（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，

設(shè)則

令則

當(dāng)時(shí)，  在（-1，0）上為增函數(shù)，

當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù).

所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，

函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).

于是當(dāng)時(shí)，

當(dāng)x＞0時(shí)，

所以，當(dāng)時(shí)，在（-1，0）上為增函數(shù).

當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù).

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）不等式等價(jià)于不等式由知，

  設(shè)則

由（Ⅰ）知，即

所以于是G(x)在上為減函數(shù).

故函數(shù)G（x）在上的最小值為

所以a的最大值為