Question

已知函數f(x)=

1+1nx

x

．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若對所有x≥1都有f(x)≥

k

x+1

，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）易求f′（x）=-

lnx

x2

，易證當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）遞減；從而可求f（x）的最大值；
（2）依題意，）對于任意的x≥1，f（x）≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），構造函數g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），利用導數法可判斷出g（x）在[1，+∞）上遞增，從而可求g（x）_min，繼而可得k的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

，
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）_max=f（1）=1；
（2）對于任意的x≥1，f（x）≥

k

x+1

，即k≤

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），
設g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），則k≤g（x）_min；
∵g（x）=1+

1

x

+lnx+

lnx

x

，
∴g′（x）=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0（僅當x=1時取等號），
∴h（x）在[1，+∞）上遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
∴g′（x））=

x-lnx

x2

＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=2，即g（x）_min=2，
∴k≤2，即實數k的取值范圍為（-∞，2]．

點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查函數的單調性與極值，考查構造函數思想與導數法的綜合運用，屬于難題．