Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1+

2

，+∞)是增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-f′（x）+3x²，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在[1+

2

，+∞)恒成立，列出關(guān)于a的不等關(guān)系解之即得；
（Ⅱ）先寫(xiě)出g（x）的表達(dá)式，求出其導(dǎo)數(shù)，最后求出單調(diào)區(qū)間即可．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定
f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù) 的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定 的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類(lèi)討論．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2ax-3，（1分）
∵f（x）在[1+

2

，+∞)上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[1+

2

，+∞)恒成立
即a≤

3x2-3

2x

在[1+

2

，+∞)恒成立?a≤(

3x2-3

2x

)min=3（3分）
又∵f′（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，∴

a

3

≥1?a≥3，（5分）
∴a=3．（6分）

（Ⅱ）g（x）=x³-ax²-3x-（3x²-2ax-3）+3x²=x³-ax²-（3-2a）x+3
g′（x）=3x²-2ax+（2a-3）=0?x₁=1，x₂=

2a-3

3

（8分）
（�。┊�(dāng)a≥3時(shí)，x，g′（x），g（x）的變化如下表：

∴增區(qū)間為：(-∞，1)，(

2a-3

3

，+∞)；減區(qū)間為：(1，

2a-3

3

)（10分）

（ⅱ）當(dāng)a＜3時(shí)，x，g′（x），g（x）的變化如下表：

∴增區(qū)間為：(1，+∞)，(-∞，

2a-3

3

)；減區(qū)間為：(

2a-3

3

，1)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸思想．屬于基礎(chǔ)題．