Question

定義域?yàn)閇-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x-2），且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的解析式，即求x∈（-1，0）及x=±1時(shí)的表達(dá)式，由f（x）的奇偶性及f（x）=f（x-2）即可求得；
（2）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以只需先求出區(qū)間（0，1）上的值域即可，注意要對(duì)a分情況討論．

解答：解：（1）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1），則f（-x）=

a-x

a-2x+1

=

ax

a2x+1

，
因?yàn)閒（x）為[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），∴f（x）=-

ax

a2x+1

，
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）∴f（1）=f（-1）=0．
故f（x）=

ax a2x+1 ，x∈(0，1) 0，x=±1 - ax a2x+1 ，x∈(-1，0)

．
（2）①當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)楫?dāng)x∈（0，1）時(shí)，a^x∈（1，a），設(shè)t=a^x，y=t+

1

t

（t∈（1，a）），則y′=1-

1

t2

＞0，
∴y=t+

1

t

=ax+

1

ax

∈（2，

a2+1

a

），∴

ax

a2x+1

=

1

ax+ 1 ax

∈（

a

a2+1

，

1

2

）．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，因?yàn)楫?dāng)x∈（0，1）時(shí)，a^x∈（a，1），設(shè)t=a^x，y=t+

1

t

（t∈（a，1）），則y′=1-

1

t2

＜0，
∴y=t+

1

t

=ax+

1

ax

∈（2，

a2+1

a

），∴

ax

a2x+1

=

1

ax+ 1 ax

∈（

a

a2+1

，

1

2

）．
綜合①②，又函數(shù)f（x）為[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)，且f（-1）=f（1）=0，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?

1

2

，-

a

a2+1

）∪{0}∪（

a

a2+1

，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性強(qiáng)，知識(shí)覆蓋面廣，既考查函數(shù)的奇偶性、值域，又考查分析問題綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．