Question

3．已知圓錐高為H，底面半徑為R，則它的內(nèi)接圓柱的高為x，則這個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積為-$\frac{2πR}{H}$（x-$\frac{H}{2}$）²+$\frac{πRH}{2}$，當(dāng)x=$\frac{H}{2}$時(shí)，內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大．

Answer 1

分析 根據(jù)圓錐的底面半徑與高，可得內(nèi)接圓柱的高為x時(shí)，圓柱的高，代入圓柱側(cè)面積公式，可得空一答案，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得空二答案．

解答 解：圓錐、圓柱的軸截面如圖所示，
其中SO=H，OA=OB=R，OK=x．
設(shè)圓柱底面半徑為r，

則 r：R=（H-x）：H，
設(shè)圓柱的側(cè)面積為S．
∵r=$\frac{R}{H}$（H-x），
∴S=2π•$\frac{R}{H}$（H-x）x=-$\frac{2πR}{H}$（x-$\frac{H}{2}$）²+$\frac{πRH}{2}$，
∴當(dāng)x=$\frac{H}{2}$時(shí)，S_max=$\frac{πRH}{2}$．
故答案為：-$\frac{2πR}{H}$（x-$\frac{H}{2}$）²+$\frac{πRH}{2}$，$\frac{H}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，圓柱的側(cè)面積公式，相似三角形的性質(zhì)，難度中檔．