Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各個頂點與各棱的中點共20個點中，任取2點連成直線，在這些直線中任取一條，它與對角線BD₁垂直的概率為

27

166

．

Answer 1

分析：如圖，易證明BD₁⊥正六邊形EFGHIJ，此時在正六邊形上有

C

2 6

=15條直線與直線BD₁垂直．與直線BD₁垂直的平面還有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，共有直線4×

C

2 3

=12條，而所有的直線共有

C

2 20

-12×(

C

2 3

-1)=166條，從而求得任取一條，它與對角線BD₁垂直的概率．

解答：解：如圖，E，F(xiàn)，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分別為相應棱上的中點，
容易證明BD₁⊥正六邊形EFGHIJ，
此時在正六邊形上有

C

2 6

=15條直線與直線BD₁垂直．
與直線BD₁垂直的平面還有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，
共有直線4×

C

2 3

=12條．
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各個頂點與各棱的中點共20個點，
任取2點連成直線數(shù)為

C

2 20

-12×(

C

2 3

-1)=166條直線
（每條棱上如直線AE，ED，AD其實為一條），
故對角線BD₁垂直的概率為

15+12

166

=

27

166

．
故答案為

27

166

．

點評：本題考查古典概型及其概率計算公式的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．