Question

已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0又f（1）=-2．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域；
（4）若?x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）解：取x=y=0，則f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，
取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
又f（x）為奇函數(shù)，∴f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）為R上的減函數(shù)；
（3）∵f（x）為R上的減函數(shù)，
∴對任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，
故f（x）在[-3，3]上最大值為6，最小值為-6．
故f（x）在區(qū)間[-3，3]上的值域為[-6，6]．
（3）解：f（x）為奇函數(shù)，整理原式得f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），
可得f（ax²-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是減函數(shù)，
所以ax²-2x＞x-2即ax²-3x+2＞0恒成立，
①當a=0時不成立，
②當a≠0時，有a＞0且△＜0，即，解得a＞．
故a的取值范圍為（，+∞）．
分析：（1）取x=y=0可求得f（0），取y=-x可得f（x）與f（-x）的關系，由奇偶性的定義即可判斷；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，由已知可得f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，從而可比較f（x₁）與f（x₂）的大小關系，得到f（x₁）＞f（x₂）；
（3）由（2）知f（x）的單調性，根據(jù)單調性即可求得最大值、最小值，從而求得值域；
（4）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性可把f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2）轉化為具體不等式恒成立，利用數(shù)形結合即可得到關于a的限制條件，解出即可．
點評：本題考查抽象函數(shù) 的奇偶性、單調性及其應用，考查函數(shù)恒成立問題，考查學生分析問題解決問題的能力，屬中檔題．