6.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D為為邊BC的中點(diǎn),AB=4,AA1=2.
(1)若點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn),求證A1E∥平面ADB1
(2)求證:平面ADC1⊥平面ADB1

分析 (1)連接ED,運(yùn)用平行四邊形的判定和性質(zhì),可得A1E∥AD,再由線面平行的判定定理,即可得證;
(2)運(yùn)用直角三角形的勾股定理及逆定理,證得AD⊥DC1,同理可得AD⊥DB1,可得∠C1DB1為C1-AD-B1的平面角,再由面面垂直的定義,即可得證.

解答 證明:(1)連接ED,
由點(diǎn)D為為邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn),可得ED=C1C,
ED∥C1C,又A1A=C1C,A1A∥C1C,
則ED∥A1A,ED=A1A,
即有四邊形EDAA1為平行四邊形,
可得A1E∥AD,
A1E?平面ADB1,AD?平面ADB1,
則A1E∥平面ADB1;
(2)在直角△A1AC1中,AC1=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$,
在正三角形ABC中,AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$,
在直角△CA1DC1中,DC1=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$,
由AD2+DC12=AC12,可得AD⊥DC1,
同理可得AD⊥DB1,
可得∠C1DB1為C1-AD-B1的平面角,
在三角形DB1C1中,DB1=DC1=2$\sqrt{2}$,B1C1=4,
可得∠C1DB1=90°,
即有二面角C1-AD-B1為直二面角,
故平面ADC1⊥平面ADB1

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定定理的運(yùn)用,以及面面垂直的判定,注意運(yùn)用定義法,考查平面幾何的有關(guān)定理,主要是勾股定理和平行四邊形的判定與性質(zhì),考查推理能力,屬于中檔題.

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