Question

選修4-5；不等式選講
已知f（x）=x|x-a|-2
（1）當a=1時，解不等式f（x）＜|x-2|；
（2）當x∈（0，1]時，f（x）＜x²-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a=1，化簡不等式，通過x≥2，1≤x＜2，x＜1分別去掉絕對值符號，然后求解不等式即可．
（2）當x∈（0，1]時，f（x）＜x²-1恒成立，轉(zhuǎn)化為a的表達式，通過函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式求出表達式的最值，得到a的范圍．
解答：解：（1）a=1，f（x）＜|x-2|，x|x-1|-2＜|x-2|．
①當x≥2時，上式化為x（x-1）-2＜x-2，又x≥2，∴x∈∅；
②當1≤x＜2時，由x|x-1|-2＜|x-2|．可得x（x-1）-2＜2-x，解得-2＜x＜2又1≤x＜2
∴1≤x＜2．
③當x＜1時，x|x-1|-2＜|x-2|．可得x（1-x）-2＜2-x，解得x＜1，
綜上不等式的解集為：{x|x＜2}．
（2）當x∈（0，1]時，f（x）＜即x|x-a|-2＜恒成立，
即在x∈（0，1]上恒成立．
而g（x）=，在（0，1]上為增函數(shù)，所以g（x）_max=g（1）=-．．
h（x）=≥2=．當且僅當，即x=時取等號．
故a．
點評：本題考查絕對值不等式，函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想．