Question

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。若分別過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)、的動(dòng)直線、相交于P點(diǎn)，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在定點(diǎn)M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）存在點(diǎn)M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為，則由題意知，則

，則橢圓方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得

，所求橢圓方程為

（2）當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)．

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為，，設(shè)，，

由得　，∴ ，．

，同理．∵， ∴，即．又，　∴．

設(shè)，則，即，

由當(dāng)直線或斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，∴點(diǎn)橢圓上，則存在點(diǎn)M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，應(yīng)用“待定系數(shù)法”求得了橢圓方程。研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達(dá)定理，通過(guò)“整體代換”，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，實(shí)現(xiàn)解題目的。（II）中對(duì)兩直線斜率存在情況進(jìn)行討論，易于忽視。